Noether's theorem

1 运动常数

运动常数
考虑自由度为 $s$ 的完整系统, 由广义坐标 $q$ 描述, 拉格朗日量为$L=L\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)$ 系统运动方程的解记为$\{q_\mathrm{cl}(t)\}$ , 即对应真实的运动. 广义坐标 $\{\boldsymbol{q}_\mathrm{cl}(t)\}$ 及广义速度 $\{\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{cl}}(t)\}$ 一般是随时间变化的, 但是却存在$\{t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\}$ 组成的函数 $C=$ $C\left(t,q,\dot{q}\right)$ , 其值只取决于初始条件, 在真实的运动过程中保持不变, 即有$$\left.\frac{\mathrm{d}C\left(t,\boldsymbol{q}\left(t\right),\dot{\boldsymbol{q}}\left(t\right)\right)}{\mathrm{d}t}\right|_{\boldsymbol{q}_{\mathrm{cl}}}=0.$$这样的函数被称为运动常数 (constant of motion), 也称运动积分.

如果运动常数只是 $\{q,\dot{q}\}$ 的函数, 不显含时间 $t$ , 也被称为整体运动常数. 考虑自由度为 $s$ 的系统, 其运动方程为 $s$ 个二阶微分方程, 需要$2s$ 个初始条件, 亦即 $2s$ 个常数 $C_1,C_2,\cdots,C_{2s}$ 来确定一组解, 记作$$q_{\mathrm{cl}}^a=q_{\mathrm{cl}}^a\left(t,C_1,\cdots,C_{2s}\right),\quad a=1,\cdots,s.$$对时间求导，得到$$\dot{q}_{\mathrm{cl}}^a=\dot{q}_{\mathrm{cl}}^a\left(t,C_1,\cdots,C_{2s}\right),\quad a=1,\cdots,s.$$
这 $2s$ 个数是独立的. 可以从这 $2s$ 个式子中的某一个解出时间参数 $t$ , 再代入剩下的 $2s-1$ 个式子中, 即得到 $2s-1$ 个不显含时间的 $\{\boldsymbol{q},\dot{q}\}$ 和 $C_1,\cdots,C_{2s}$ 的关系式. 从中可以再解出 $2s$ 个常数 $C_1,\cdots,C_{2s}$ 中的 $2s-1$ 个，作为 $\{q,\dot{q}\}$ 的函数，即整体运动常数. 因此, 自由度为 $s$ 的系统, 具有 $2s-1$ 个独立的整体运动常数.

假定系统由$A$ 和$B$ 两部分组成, 且有各自的拉格朗日量$$L_A=T_A-V_A,\quad L_B=T_B-V_B.$$若两部分的相互作用可以忽略, 则动能和势能为两部分之和, 因此$$T=T_A+T_B,\quad V=V_A+V_B\quad\Rightarrow\quad L=L_A+L_B.$$因此, 对于没有相互作用的多个子系统构成的系统, 拉格朗日量具有可加性 (additivity). 此时系统拉格朗日量 $L$ 对应某子系统的运动方程, 与子系统自身拉格朗日量对应的运动方程完全一致, 就像其他子系统不存在一样, 此时, 拉格朗日量和相应的运动方程被称为是退耦 (decoupled) 的. 常常在一组广义坐标中耦合在一起的各个子系统, 选取另一组广义坐标后, 就变成退耦或者近似退耦的.

根据是否"可加", 可将运动常数分为"可加/不可加"两类, 具有可加性的运动常数也被称为守恒量. 在经典力学范围内有 7 个普适的守恒量: 能量 (1 个), 线动量 (3 个), 角动量 (3 个). 这些守恒量与时空对称性有着深刻的联系.

运动常数不是常数
运动常数不是常数, 而是一个常值函数, 换言之, 如果对其做变分, 其值往往不为 0.

2 广义动量守恒与能量守恒

拉格朗日量 $L(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}})$ 一般是时间 $t$, 广义坐标 $\{q\}$ 和广义速度 $\{\dot{\boldsymbol{q}}\}$ 的函数. 但是其未必包含全部这 $2s+1$ 个变量. 这就存在三种情况: 不显含某个或某些广义坐标, 不显含时间参数, 或者不显含某个或某些广义速度. 前两种情况分别对应广义动量, 能量的守恒, 第三种情况则意味着相应的广义坐标成为非动力学的辅助变量, 我们将在第6章中讨论.

2.1 广义动量守恒

若拉格朗日量中不出现"某个"广义坐标 $q^a$, 即若$$\frac{\partial L}{\partial q^a}=0,$$则称此坐标为循环坐标 (cyclic coordinate). 若 $q^a$ 为循环坐标, 则其对应的拉格朗日方程为$$0=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^a}\right)-\underbrace{\frac{\partial L}{\partial q^a}}_{=0}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^a}\right),$$
上式表明$\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^a}$ 对时间的全导数为零，于是得到$$p_a\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^a}=\text{常数}.$$
因此，循环坐标的共轭动量是运动常数.

2.2 广义能量守恒

如果 $t$ 是"循环坐标", 考虑 $s$ 自由度的系统, 求拉格朗日量对时间的全导数, 并让运动方程成立 (即下式中为 0)$$\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}& =\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{\partial L}{\partial q^{a}}\frac{\mathrm{d}q^{a}}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{a}}\frac{\mathrm{d}\dot{q}^{a}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{\partial L}{\partial q^{a}}\dot{q}^{a}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{a}}\dot{q}^{a}\right)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{a}}\right)\dot{q}^{a} \
&=\frac{\partial L}{\partial t}-\underbrace{\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{a}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^{a}}\right]}_{=0}\dot{q}^{a}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{a}}\dot{q}^{a}\right),
\end{aligned}$$
因此有$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^a}\dot{q}^a-L\right)+\frac{\partial L}{\partial t}=0.\tag{a}$$
该推导与[[变分法与 Euler-Lagrange Equation#^79e16d|推导欧拉拉格朗日方程的等价形式]]所用的思路相同.

定义能量函数 (energy function), 也称雅可比积分 (Jacobi integral) 或广义能量$$\boxed{h\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right):=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{a}}\dot{q}^{a}-L\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)}.$$
则 $a$ 式可写作 $$\boxed{\frac{\mathrm dh}{\mathrm dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}}.$$
注意上式中 $h$ 是对时间 $t$ 的全导数, $L$ 是偏导数. 若物理系统的拉格朗日量不显含时间参数 (也就是 $t$ 是循环坐标), 即不存在任何特别的时间标记, 则有$$\boxed{\frac{\partial L}{\partial t}=0\quad\Rightarrow\quad h=h\left(q,\dot{q}\right)=\text{常数}}.$$
即若拉格朗日量不显含时间, 则能量函数是运动常数. 因为能量函数守恒, 这样的系统又被称作保守系统 (conservative system).

由于$$\begin{align*}
L&= T-V\
&= \frac12G_{ab}\dot{q}^a\dot{q}^b+X_a\dot{q}^a+Y-V,
\end{align*}$$则$$\begin{aligned}
h&= \frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{a}}\dot{q}^{a}-L \
&=\frac{\partial}{\partial\dot{q}^{a}}\left(\frac{1}{2}G_{cd}\dot{q}^{c}\dot{q}^{d}+X_{c}\dot{q}^{c}+Y-V\right)\dot{q}^{a}-\frac{1}{2}G_{ab}\dot{q}^{a}\dot{q}^{b}-X_{a}\dot{q}^{a}-Y+V \
&=\frac12G_{ab}\dot{q}^a\dot{q}^b-Y+V.
\end{aligned}$$
另一方面, 对于 $L=T-V$ 形式的拉格朗日量, 系统的总能量为$$E\equiv T+V=\frac12G_{ab}\dot{q}^a\dot{q}^b+X_a\dot{q}^a+Y+V.$$
可见, 一般 $h\neq E.$ 两者不相等的根源在于非零的 $X_a$ 和 $Y.$ 当且仅当 $X_a=0$ 和 $Y=0$ 时, 即动能 $T$ 是广义速度的二次型时, 才有 $h=E.$ 而根据[[1 The Principle of Least Action#^075f50|定常系统下动能为广义速度的二次型]], 这意味着系统为定常系统, 因此, 当且仅当系统为定常系统时, 能量函数等于系统的总能量. 对于非定常系统, 能量函数和系统的总能量并不相等. 这就导致某些情况下 $h$ 是运动常数, 但是却不等于系统的总能量$E$. 另一些情况下 $h$ 等于系统的总能量$E$ , 却又不是运动常数.

$h$ 是哈密顿力学的核心.

3 时空对称性与守恒量

3.1 空间的均匀性与各向同性

考虑$N$ 个粒子组成的粒子系统. 广义坐标为普通的直角坐标$\{x_{(\alpha)}\}$, $\alpha=$ $1,\ldots,N$ , 拉格朗日量为$$L=L\begin{pmatrix}t,\boldsymbol{x}_{(1)},\cdots,\boldsymbol{x}_{(N)},\dot{\boldsymbol{x}}_{(1)},\cdots,\dot{\boldsymbol{x}}_{(N)}\end{pmatrix}.$$考虑空间坐标的无穷小变换:$$\boldsymbol{x}_{(\alpha)}\left(t\right)\to\bar{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\left(t\right)=\boldsymbol{x}_{(\alpha)}\left(t\right)+\delta\boldsymbol{x}_{(\alpha)}\left(t\right),\quad\alpha=1,\cdots,N.$$注意在这里每个粒子可能有不同的$\delta x_{(\alpha)}.$ 作用量的变化为$$\begin{align*}
\delta S&= \int\mathrm{d}t\sum_{\alpha=1}^N\left(\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}\cdot\delta\boldsymbol{x}_{(\alpha)}+\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}}\cdot\delta\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\right)\
&= \int\mathrm{d}t\sum_{\alpha=1}^{N}\left[-\underbrace{\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}}-\frac{\partial L}{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}\right)}_{=0}\cdot\delta\boldsymbol{x}_{(\alpha)}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}}\cdot\delta\boldsymbol{x}_{(\alpha)}\right)\right]
\end{align*}$$
因此，当运动方程满足时 (即真实演化), 如果要求作用量在空间坐标的连续变换下严格不变, 即$\delta S=0$, 则必须有全导数项为 0, 即$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\sum_{\alpha=1}^N\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}}\cdot\delta\boldsymbol{x}_{(\alpha)}\right)=0\quad\Rightarrow\quad\sum_{\alpha=1}^Np_{(\alpha)}\cdot\delta\boldsymbol{x}_{(\alpha)}=\text{常数},$$其中$p_{(\alpha)}\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}}$ 是第$\alpha$ 个粒子的动量.

考虑空间坐标的整体平移 (translation),$$\boxed{\delta\boldsymbol{x}_{(1)}=\delta\boldsymbol{x}_{(2)}=\cdots=\delta\boldsymbol{x}_{(N)}\equiv\boldsymbol{\xi}\equiv a\hat{\boldsymbol{\xi}}=\text{常矢量}}.$$其中$a$ 是常数, 代表平移的距离; $\xi$ 是与时间无关的任意常单位矢量, 代表平移的方向. 对于 $N$ 个粒子组成的粒子系统来说, 这意味着所有粒子的空间坐标朝着 $\hat{\xi}$ 方向整体平移了同样的距离 $a$ , 如果系统在空间整体平移的变换下, 作用量不变则称系统具有空间均匀性 (spatial homogeneity). 这时原式变成$$\sum_{\alpha=1}^Np_{(\alpha)}\cdot(a\hat{\boldsymbol{\xi}})=\text{常数},$$而因为 $a$ 是个常数, 这意味着$$\boxed{p_\text{总}\cdot\hat{\xi}=\text{常数}},$$这里$$p_{\text{总}}\equiv\sum_{\alpha=1}^{N}p_{(\alpha)}\equiv\sum_{\alpha=1}^{N}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{(\alpha)}},$$是该系统的总动量, 因此, 如果系统沿着某方向具有空间均匀性, 则系统的总线动量在此方向的分量守恒.

除了整体平移, 空间还可以做整体转动 (rotation). 在 3 维欧氏空间中的无穷小转动下, 直角坐标的变换为 $\delta x=\phi n\times x.$ 其中 $n$ 是任意单位常矢量, 代表转动的转轴方向; $\phi$ 是任意无量纲常数, 代表无穷小转动角度. 于是所有粒子共同做整体转动即$$\boxed{\delta x_{(\alpha)}=\phi\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{x}_{(\alpha)}},\quad\alpha=1,\cdots,N.$$

系统在整体转动下作用量不变, 则称系统具有绕此方向的空间各向同性 (spatial isotropy). 此时原式成为$$\sum_{\alpha=1}^Np_{(\alpha)}\cdot(\phi\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{x}_{(\alpha)})=\sum_{\alpha=1}^N\phi\boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{x}_{(\alpha)}\times\boldsymbol{p}_{(\alpha)})=\text{常数},$$因为$\phi$ 是常数，这意味着$$\boxed{\boldsymbol{J}_{总}\cdot \boldsymbol{n}=常数},$$
也就有如果系统绕某方向具有空间各向同性, 则系统总角动量在此方向的分量守恒.

3.2 时间均匀性

若拉格朗日量不显含时间 $\frac{\partial L}{\partial t}=0$ , 能量函数 $h$ 是运动常数, 拉格朗日量不显含时间意味着, 系统不存在特别的时间参照点, 时间原点 (例如 $t=0$ 时刻) 可以任意选取, 即具有时间均匀性（temporal homogeneity), 即时间是均匀流逝的. 反映在拉格朗日量上, 即时间平移 ($\eta$ 是常数)$$t\to\tilde{t}=t+\eta,$$不会引起拉格朗日量的变化. 反过来, 当拉格朗日量显含时间, 时间的均匀性就被破坏了. 因此, 能量守恒本质上反映的就是时间流逝的均匀性.

时空对称性与守恒律的关系可总结如下表所示

动量与能量守恒在牛顿力学的框架下只能作为先验的假设, 而有了拉格朗日量, 不但可以解释其守恒的原因, 而且揭示了其与时空对称性的深刻联系.

4 作用量的形式变换

^1f88f8

4.1 全导数

经典力学系统的演化由运动方程决定, 初始条件给定, 系统就沿着唯一的一条轨迹 (相流) 演化. 但是拉格朗日量, 作用量却有一定不确定性. 一组确定的运动方程, 可以对应有多个 (无限多个) 不同的拉格朗日量, 如果两个拉格朗日量对应同一组运动方程, 则两者被称为互相等价 (equivalent) 拉格朗日量的等价性可以有很多形式. 例如, 对于任意常数 $c$, $L$ 和 $cL$ 显然对应同样的运动方程.

物理上重要的一种等价关系, 来自两个相差"时间全导数"的拉格朗日量. 给定某个拉格朗日量 $L$ , 加上时间和广义坐标的任意函数 $F\left(t,\boldsymbol{q}\right)$ 对时间的全导数得到$$\boxed{\tilde{L}\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)=L\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)+\frac{\mathrm dF\left(t,\boldsymbol{q}\right)}{\mathrm dt}},\tag{b}$$对应的作用量变为$$\begin{aligned}
\tilde{S}\left[\boldsymbol{q}\right]=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\tilde{L}\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)& =\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\left(L\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)+\frac{\mathrm{d}F\left(t,\boldsymbol{q}\right)}{\mathrm{d}t}\right) \
&=S\left[\boldsymbol{q}\right]+\left.F\left(t,\boldsymbol{q}\right)\right|_{t_{1}}^{t_{2}}.
\end{aligned}$$因为变分要求在积分端点 $q\left(t_1\right)$ 和 $\boldsymbol{q}\left(t_2\right)$ 的值是固定的, 两个作用量相差一个常数项 $F\left(t,q\right)|_{t_1}^{t_2}.$ 常数项对变分没有贡献, 所以 $\delta\tilde{S}=\delta S$ , 即 $S$ 的极值必定对应 $\tilde{S}$ 的极值, 所以两者对应同一组运动方程, 因此 $b$ 式有时也被称作拉格朗日量的规范变换 (gauge transformation).

一般地, 对于最高含有 $n$ 阶时间导数的拉格朗日量 $L(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}},\boldsymbol{q}^{(n)})$ 变分的边界条件要求广义坐标及其最高至 $n-1$ 阶导数在边界固定不变 (总共 $2m$ 个边界条件) 相应地, 拉格朗日量可以加上最高含有 $n-1$ 阶时间导数的函数的全导数.

这样的操作方式实际上就是通过[[变分法与 Euler-Lagrange Equation#^b1f08f|分部积分]]实现的, 是简化拉格朗日量的重要数学技巧.

值得一提的是, 虽然相差时间全导数的两个拉格朗日量给出相同的运动方程, 但是共轭动量和能量函数可能不同. 由$$\tilde{L}=L+\frac{\mathrm{d}F\left(t,\boldsymbol{q}\right)}{\mathrm{d}t}=L+\frac{\partial F\left(t,\boldsymbol{q}\right)}{\partial t}+\frac{\partial F\left(t,\boldsymbol{q}\right)}{\partial q^a}\dot{q}^a,$$于是$q^a$ 的共轭动量为
$$\tilde{p}_a\equiv\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\dot{q}^a}=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^a}+\frac{\partial F}{\partial q^a}=p_a+\frac{\partial F}{\partial q^a}.$$可见广义坐标的共轭动量有一定任意性, 这也是在相空间中广义坐标和广义动量必须被视为完全独立的变量的原因之一. 对于能量函数$$\begin{aligned}
\tilde{h}\equiv\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\dot{q}^{a}}\dot{q}^{a}-\tilde{L}& =\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{a}}+\frac{\partial F}{\partial q^{a}}\right)\dot{q}^{a}-\left(L+\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial q^{a}}\dot{q}^{a}\right) \
&=\underbrace{\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{a}}\dot{q}^{a}-L}_{=h}-\frac{\partial F}{\partial t},
\end{aligned}$$可见$$\tilde{h}=h-\frac{\partial F}{\partial t}.$$这一关系在哈密顿力学中被称作哈密顿量的正则变换.

4.2 广义坐标的变换

本节中, 假定时间参数 $t$ 不变, 重点关注广义坐标的变换.

对于位形空间中给定的某点及其对应的广义速度, 因为只是变量代换, 所以拉格朗日量的数值本身是不变的, 即有$$L\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)\to\tilde{L}\left(t,\tilde{\boldsymbol{q}},\dot{\tilde{\boldsymbol{q}}}\right)\equiv L\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right),$$
同样, 作用量的变化为$$S\left[\boldsymbol{q}\right]\to\tilde{S}\left[\tilde{\boldsymbol{q}}\right]:=\int\mathrm{d}t\tilde{L}\left(t,\tilde{\boldsymbol{q}},\dot{\tilde{\boldsymbol{q}}}\right)=\int\mathrm{d}tL\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)\equiv S\left[\boldsymbol{q}\right].$$
变换前后的拉格朗日量和作用量, 只是换用不同的广义坐标描述同一对象, 于是虽然函数形式不同, 但数值相等, 这相当于说拉格朗日量和作用量是广义坐标变换下的标量.

5 诺特定理 (Noether's theorem)

5.1 对称变换

我们举一个例子来讨论这个问题.

考虑函数 $z=F\left(x,y\right)\equiv x^2+y^2$. 函数的梯度为 $\nabla F=\{2x,2y\}$. 极值点对应梯度为零的点, 为 $\{x,y\}=\{0,0\}$ 处. 而在平面上任意 $\{x,y\}$ 处, 都存在一个方向$$\delta_sx\equiv\{\delta_sx,\delta_sy\}\propto\{-y,x\}\:,$$使得其与梯度处处正交,$$\nabla F\cdot\delta_s\boldsymbol{x}\propto\{2x,2y\}\cdot\{-y,x\}\equiv0.$$而这也给出函数的对称变换 $\delta_{s}x=-\epsilon y$ 和$\delta_{s}y=\epsilon x$, 这里 $\epsilon$ 即无穷小变换的参数, 可以直接验证, 在这个无穷小变换下保留到的一阶$$\begin{aligned}
F=x^2+y^2& \to(x+\delta_{s}x)^{2}+(y+\delta_{s}y)^{2} \
&=\left(x-\epsilon y\right)^2+\left(y+\epsilon x\right)^2=x^2+y^2\equiv F,
\end{aligned}$$即函数确实是不变的.

5.2 时间与广义坐标的变换

在数学上, 对称变换则是在时间参数和广义坐标的变换下, 作用量本身形式的变换.

一般来说, 变换关系可以含有广义速度. 如果变换可以由某个 (某些) 参数来参数化, 且这些参数可以连续取值, 则被称作连续变换 (continuous transformation). 对于连续变换, 当变换参数为无穷小量时, 被称作无穷小变换 (infinitesimal transformation). 对于时间参数, 其无穷小变换为$$\boxed{\delta_\text{s}t:=\tilde{t}-t}.$$这里$\delta_\mathrm{s}$ 代表对称变换. 广义坐标的无穷小变换定义为$$\boxed{\delta_\text{s}q^a\left(t\right):=\tilde{q}^a\left(t\right)-q^a\left(t\right)},$$其中等号左右都是同一时间 $t$, 即只是广义坐标本身函数形式的变化. 虽然 $\delta_\text{s}q^a$ 和变分 $\delta q^a$ 在数学形式上一样, 但是其并不是任意的变分, 而是满足某些条件的连续变换. 我们还定义$$\boxed{\Delta q^a\left(t\right):=\tilde{q}^a\left(\tilde{t}\right)-q^a\left(t\right)},$$这里记作$\Delta q^a$ 以区别于广义坐标的无穷小变换, 其中同时涉及时间参数t和广义坐标$q^a$ 函数形式的变换. 对于这样的变分我们也称作诺特变分

对于诺特变分, 展开后得到$$\Delta q^{a}\left(t\right)=\tilde{q}^{a}\left(t+\delta_{s}t\right)-q^{a}\left(t\right)=\tilde{q}^{a}\left(t\right)+\delta_{s}t\dot{\tilde{q}}^{a}\left(t\right)-q^{a}\left(t\right),$$代入 $\dot{\tilde{q}}^{a}=\dot{q}^{a}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\delta_{\mathrm{s}}q^{a}\right)$ 并保留到一阶小量, 即有$$\boxed{\Delta q^a=\delta_\mathrm{s}q^a+\delta_\mathrm{s}t\dot{q}^a}.\tag{c}$$
可见 $\delta_\text{s}t$, $\delta_\text{s}q^a$ 和 $\Delta q^a$ 中只有 2 个是独立的.

注意: $\Delta\dot{q}^{a}\neq\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\Delta q^{a}\right).$

5.3 作用量的对称性

作用量的变换定义为$$\begin{aligned}\Delta S&:=\tilde{S}\left[\tilde{q}\right]-S\left[q\right]\\&=\:\int_{\tilde{t}_{1}}^{\tilde{t}_{2}}\mathrm{d}\tilde{t}L\left(\tilde{t},\tilde{\boldsymbol{q}}\left(\tilde{t}\right),\frac{\mathrm{d}\tilde{\boldsymbol{q}}\left(\tilde{t}\right)}{\mathrm{d}\tilde{t}}\right)-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\:L\left(t,\boldsymbol{q}\left(t\right),\dot{\boldsymbol{q}}\left(t\right)\right).\end{aligned}$$

若要求作用量在变换下严格不变, 则 $\Delta S\equiv0$. 但根据[[2 Noether's theorem#^1f88f8|作用量的形式变换]], 两个作用量可以在相差边界项的意义下等价, 即给出相同的运动方程. 因此如果$$\boxed{\Delta S=\int_{t_1}^{t_2}\mathrm{d}t\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}},$$则变换被称作对称变换 (symmetry transformation), 而称作用量在此变换下不变 (invariant). 此时系统所有的性质在此变换下不变, 又因为变换参数可以连续取值, 所以对称性被称作连续对称性 (continuous symmetry). 需要特别强调的是, 我们只是在讨论变换 $\delta_\text{s}t$ 和 $\delta_sq^a$ 导致作用量形式的改变, 而完全没有管运动方程, 这体现了对称性是系统的内在属性, 与运动方程是否满足 (真实运动) 没有关系.

将 ${\Delta}S$ 展开并保留到一阶小量,$$\begin{aligned}\Delta S&=\quad\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\frac{\mathrm{d}\tilde{t}}{\mathrm{d}t}L\left(\tilde{t},\tilde{\boldsymbol{q}}(t),\frac{\mathrm{d}\tilde{\boldsymbol{q}}(\tilde{t})}{\mathrm{d}t}\right)-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\mathrm{L}\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)\
&=\quad\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\left(1+\frac{\mathrm{d}(\delta_{s}t)}{\mathrm{d}t}\right)L\left(t+\delta_{s}t,\boldsymbol{q}+\delta_{s}\boldsymbol{q}+\delta_{s}t\dot{\boldsymbol{q}},\dot{\boldsymbol{q}}+\frac{\mathrm{d}(\delta_{s}\boldsymbol{q})}{\mathrm{d}t}+(\delta_{s}t)\dot{\boldsymbol{q}}\right)-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}tL\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)\
&=\quad\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\left(1+\frac{\mathrm{d}(\delta_{s}t)}{\mathrm{d}t}\right)\left[L+\frac{\partial L}{\partial t}\delta_{s}t+\frac{\partial L}{\partial q^{n}}\left(\delta_{s}q^{n}+\delta_{s}t\dot{q}^{n}\right)+\frac{\partial L}{\partial q^{a}}\left(\frac{\mathrm{d}(\delta_{s}q^{a})}{\mathrm{d}t}+(\delta_{s}t)\dot{q}^{n}\right)\right]-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}tL\
&=\quad\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\left[\frac{\partial L}{\partial q^{a}}\delta_{s}q^{a}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^{a}}\frac{\mathrm{d}(\delta_{s}q^{a})}{\mathrm{d}t}+L \frac{\mathrm{d}({\delta}_{s}t)}{\mathrm{d}t}+ \left( \frac{{\partial}L}{{\partial}t}+ \frac{{\partial}L}{{\partial}q^{a}}\dot{q}^{a}+ \frac{{\partial}L}{{\partial}\dot{q}^{a}}\ddot{q}^{a} \right) {\delta}_{s}t\right]
\end{aligned}$$
整理得到$$\Delta S=\int_{t_1}^{t_2}\mathrm{d}t\left[\left(\frac{\partial L}{\partial q^a}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^a}\right)\delta_sq^a+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^a}\delta_sq^a+L\delta_st\right)\right].$$则必然有$$\boxed{\left(\frac{\partial L}{\partial q^a}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^a}\right)\delta_sq^a+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^a}\delta_sq^a+L\delta_st\right)=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}},$$称作诺特条件.

由于第一项的 $\frac{\partial L}{\partial q^{\alpha}}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial q^{\alpha}}\equiv\frac{\delta S}{\delta q^{\alpha}}$ 对应欧拉-拉格朗日方程, 将原式改写为$$\boxed{-\frac{\delta S}{\delta q^a}\delta_sq^a=\frac{\mathrm{d}\mathcal{Q}}{\mathrm{d}t}},\tag{诺特条件}$$其中$$\boxed{\mathcal{Q}:=p_{a}\delta_{s}q^{a}+L\delta_{s}t-F},$$
或者$$\mathcal Q:=\frac{\partial L}{\partial\dot q^a}\left(\Delta q^a-\delta_st\dot q^a\right)+L\delta_st-F=\frac{\partial L}{\partial\dot q^a}\Delta q^a-\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q^a}\dot q^a-L\right)\delta_st-F,$$即$$\boxed{\mathcal{Q}=p_{a}\Delta q^{a}-h\delta_{s}t-F},$$

上述推导较为复杂, 可以忽略, 但诺特条件是较为重要的结论, 需要牢记.

类比函数的对称变换, 对于诺特条件, 将一阶泛函导数 $\frac{\delta S}{\delta q^a}$ 和变换 $\delta_\text{s}q^a$ 都视为位形空间中的矢量, 那么左边则是泛函导数 $\frac{\delta S}{\delta q^\alpha}$ (作用量在位形空间中的梯度) 和对称变换 $\delta_\mathrm{s}q^a$ 的"内积". 形象地说, 对称变换 $\delta_sq^a$ 对应位形空间中的特殊方向, 其和泛函导数 $\frac{\delta S}{\delta q^{\alpha}}$ 的内积为零或时间的全导数.

需要强调变分 $\delta q^a$ 和对称变换 $\delta_\text{s}q^a$ 的根本不同:

• 运动方程: 变分 $\delta q^{\alpha}$ 是完全任意的, 泛函极值要求泛函导数 $\frac{\delta S}{\delta q^a}$ 为零, 即 $q^{\alpha}\left(t\right)$ 满足运动方程, 系统在做真实的演化. 它限制 $q^{a}$, 而变分 ${\delta}q^{a}$ 任意.

• 对称变换: $q^{\alpha}\left(t\right)$ 是完全任意的, 即运动方程本身不要求满足 $\frac{\delta S}{\delta q^\alpha}\neq0$, 对称变换要求 $\delta_\mathrm{s}q^{\alpha}$ 必须满足诺特条件. 它限制 ${\delta}_{s}q^{a}$, 而变分 $q^{a}$ 任意.

  5.4 诺特定理

  由上, 我们有$$\frac{\mathrm{d}\mathcal{Q}}{\mathrm{d}t}=0.$$
  也即 $\mathcal{Q}$ 为常数.

考虑一个特殊情况: 当变换参数与时间参数 $t$ 无关, 此时变换被称作整体变换 (global transformation) . 在单参数情形, 即有$$\begin{array}{rcl}\delta_{s}t&=&\epsilon\eta\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right),\\\delta_{s}q^{a}&=&\epsilon\xi^{a}\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right),\quad a=1,\cdots,s,\end{array}$$其中 $\epsilon$ 是和时间 $t$ 无关的无穷小常数, $\eta$ 和 $\xi^a$ 则一般是时间 $t$, 广义坐标及广义速度的函数. 相应的边界项记为$$F=\epsilon\varphi\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right).$$对于整体对称性, 因为变换参数 $\epsilon$ 是常数, 可以将其提出, 定义$$Q:=\frac{1}{\epsilon}\mathcal Q=\frac{1}{\epsilon}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q^a}\epsilon\xi^a+L\epsilon\eta-\epsilon\varphi\right),$$即意味着$$\boxed{Q\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^a}\xi^a+L\eta-\varphi=\text{常数}},$$

Noether's theorem
若系统的作用量有连续整体对称性，则当运动方程满足时，存在相应的运动常数。
也可描述成: 连续整体对称性对应物理量的不变性 (守恒性).

我们可以总结出根据诺特定理判断变换是否是对称性, 以及寻找整体对称性的运动常数的具体步骤:

1. 写出变换判断其是否满足诺特条件, 即可以写成时间全导数或者严格为零.
2. 根据全导数的形式, 读出对应的边界项$F$ (可能为零).
3. 对于整体对称性, 得到相应的运动常数.