Small Oscillations

1 微扰展开

1.1 函数的微扰展开

考虑一元函数 $F\left(x\right)$ , 在某点 $\bar{x}$ 处的值为 $F\left(\bar{x}\right)$ . 现在要问, 当变量 $x$ 与 $\bar{x}$ 有小的偏离, 记$$x=\bar{x}+\delta x,$$则由之产生的 $F\left(x\right)$ 与 $F\left(\bar{x}\right)$ 的偏离是多少? 答案已经由泰勒公式告诉我们, $$F\left(\bar{x}+\delta x\right)-F\left(\bar{x}\right)=\underbrace{F'\left(\bar{x}\right)\delta x}_{=0}+\frac{1}{2}F''\left(\bar{x}\right)\left(\delta x\right)^{2}+\cdots.$$

在微扰展开中, 相对其做展开的点 $\bar{x}$ 被称作背景 (background), 对背景的小"偏离" $\delta x$ 被称作扰动 (perturbation) 或微扰. 在上式中, $\bar{F}\equiv F\left(\bar{x}\right)$ 即函数的背景值 (background value), 只和 $\bar{x}$ 有关. 等号右边第一项为扰动 $\delta x$ 的线性项 (linear term). $F_{1}\left(\delta x\right)\equiv F^{\prime}\left(\bar{x}\right)\delta x$ , 其系数是函数一阶导数的背景值. 特别地, 如果背景 $\bar{x}$ 是函数的极值点, 即 $F^{\prime}\left(\bar{x}\right)=0$ , 则有 $F_1\left(\delta x\right)\equiv0$. 即若背景为极值点, 微扰展开的线性项恒为零. 第二项为展开的二次项 (quadratic term) $F_{2}\left(\delta x\right)\equiv\frac{1}{2}F^{\prime\prime}\left(\bar{x}\right)\left(\delta x\right)^{2}$ 是扰动 $\delta x$ 的二次型, 系数是函数二阶导数的背景值. 可见, 函数在极值点处微扰展开的领头项是扰动 $\delta x$ 的二次项.从这个意义上, 二次项 $F_2\left(\delta x\right)$ 是在极值点 $\bar{x}$ 附近, 函数微扰展开的领头阶近似 (leading order approximation) 或最低阶近似 (lowest order approximation).

1.2 作用量的微扰展开

先考虑单自由度的系统, 拉格朗日量为 $L\left(t,q,\dot{q}\right)$. 给定一组运动方程, 有无穷多个解, 对应无穷多种初始 (边界) 条件. 假定已知系统的运动方程的某组特解 $\bar{q}=\bar{q}\left(t\right)$, 其满足运动方程, 即意味着其使得作用量取极值$$-\left.\frac{\delta S}{\delta q}\right|_{\bar{q}}=\left.\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}\right)\right|_{\bar{q}}=0,$$这里下标 $\bar{q}$ 表示特解 $\bar{q}\left(t\right)$ 对应的值. 在微扰展开中, 这个已知的特解 $\bar{q}\left(t\right)$ 被称作背景位形 (background configuration), 简称背景. 现在考虑系统对这组特解的"小偏离", 记作$$\boxed{q\left(t\right)=\bar{q}\left(t\right)+\epsilon\delta q\left(t\right)}.$$
这里 $\delta q$ 即表征系统位形对背景位形 $\bar{q}$ 的偏离, 被称作扰动 (perturbation)¹. $\epsilon$ 是用来表征扰动大小的小量. 作用量 $S\left[q\right]=S\left[\bar{q}+\epsilon\delta q\right]$ 是 $\epsilon$ 的普通函数, 可以做普通的泰勒展开, 得到$$\begin{array}{rcl}S\left[\bar{q}+\epsilon\delta q\right]&=&\displaystyle\int\mathrm{d}t\:L\left(t,\bar{q}+\epsilon\delta q,\dot{\bar{q}}+\epsilon\delta\dot{q}\right)=\displaystyle\int\mathrm{d}t\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\epsilon^{n}}{n!}\:\left[\left(\delta q\frac{\partial}{\partial q}+\delta\dot{q}\frac{\partial}{\partial\dot{q}}\right)^{n}L\right]\\&\equiv&\displaystyle S_{0}+\epsilon S_{1}+\epsilon^{2}S_{2}+\epsilon^{3}S_{3}+\cdots\:.&\end{array}$$
**注意: 上式是对 ${\varepsilon}$ 做泰勒展开.

我们按照 $\epsilon$ 的阶数, 对 $S_{n}$ 逐阶讨论.

在1阶, 扰动的一阶作用量为$$S_1\left[\delta q\right]=\int\mathrm{d}t\left(\left.\frac{\partial L}{\partial q}\right|_{\bar{q}}\delta q+\left.\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right|_{\bar{q}}\delta\dot{q}\right)\simeq\int\mathrm{d}t\underbrace{\left.\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right|_{\bar{q}}}_{=0}\delta q\equiv0.$$
与函数在极值点处展开的一阶项正比于背景的一阶导数类似, 扰动的一阶拉格朗日量正比于背景运动方程, 而背景运动方程当然是满足的, 所以$$\left.\frac{\delta S}{\delta q}\right|_{\bar{q}}=0,\quad\Rightarrow\quad\boxed{S_1\left[\delta q\right]\equiv0}.$$

因此, 扰动的一阶作用量恒为零.

在2阶, 扰动的二次作用量 (quadratic action) 为$$S_{2}\left[\delta q\right]=\int\mathrm{d}t\left(\frac{1}{2}G\left(\delta\dot{q}\right)^{2}+N\delta\dot{q}\delta q+\frac{1}{2}M\left(\delta q\right)^{2}\right),$$
相应的被积函数即扰动的二次拉格朗日量，其中$$G=\left.\frac{\partial^2L}{\partial\dot q^2}\right|_{\bar q},\quad N=\left.\frac{\partial^2L}{\partial\dot q\partial q}\right|_{\bar q},\quad M=\left.\frac{\partial^2L}{\partial q^2}\right|_{\bar q},$$
都是“背景” $\bar{q}$ 的函数. 利用分部积分 $N\delta\dot{q}\delta q\simeq-\frac{1}{2}\dot{N}(\delta q)^{2}$ , 得到$$\boxed{S_{2}\left[\delta q\right]\simeq\int\mathrm{d}t\frac{1}{2}\left[G\left(\delta\dot{q}\right)^{2}-W\left(\delta q\right)^{2}\right]},$$
其中$$W=-M+\dot{N}.$$

实际上 $G$ 与 $W$ 分别是一个动能项系数矩阵与一个势能项系数矩阵. 在多自由度下是个方阵, 在单自由度下就是一个一阶方阵, 也就是个常数.

根据以上讨论, 围绕某个背景做微扰展开, 即得到扰动的作用量. 因为背景是系统运动方程的解, 即背景运动方程总是满足, 所以扰动的一阶作用量恒为零. 因此, 扰动的领头阶作用量是二次作用量.

实际计算中可以直接对求得的拉格朗日量做展开.

以上对于多自由度的情况是直接的.

1.3 稳定平衡位形附近的围绕展开

所谓平衡, 即$$\boxed{\bar{q}^{a}=常数},\quad a=1,\cdots,s.$$

首先考虑单自由度情形. 限定讨论非相对论性, 定常约束系统. 平衡位形的广义坐标不随时间变化, 因此由运动方程, 将$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{{\partial}L}{{\partial}\dot{q}}$ 直接展开, 平衡条件等价于$$\left.\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}\right)\right|_{\bar{q}}=\underbrace{\left.\frac{\partial^2L}{\partial q\partial\dot{q}}\right|_{(\bar{q})}\dot{\bar{q}}+\left.\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^2}\right|_{\bar{q}}\ddot{\bar{q}}}_{=0}-\left.\frac{\partial L}{\partial q}\right|_{\bar{q}}=0,\quad\Rightarrow\quad\left.\frac{\partial L}{\partial q}\right|_{\bar{q}}=0.$$

对于非相对论性定常系统, 拉格朗日量为$L=T-V=\frac{1}{2}G\left(q\right)\dot{q}^{2}-V\left(q\right)$ . 因此平衡条件即$$\boxed{\left.\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}q}\right|_{\bar{q}}=0},$$
对应势能的极值点.

此外, 还必须要注意的是, 只有极小值点处才能保证此时微扰的背景是稳定的, 即微扰会围绕背景做往复运动. 这是因为在稳定情况下, 扰动的领头阶 (即第二阶) 是一个振动运动方程所对应的拉合朗日函数, 也就必然有$\frac{G}{W}>0$, 由于动能肯定为正, 则 $G>0$ 成立, 那么 $W=- \frac{{\partial}^{2}L}{{\partial}q^{2}}=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}q^{2}}>0$. 不过要注意的是, 这个条件充分不必要, $W=0$ 时也有时可能满足势能取极值点.

2 自由振动

对于单自由度保守系统, 在稳定平衡位置附近的微扰展开. 扰动的二次作用量$$S_2\left[q\right]=\int\mathrm{d}t\left(\frac{1}{2}G\dot{q}^{2}-\frac{1}{2}Wq^{2}\right),$$
其中 $G$ 和 $W$ 均为常数. 对 $S_2\left[q\right]$ 变分得到线性运动方程$$G\ddot q+Wq=0,\quad\Rightarrow\quad\boxed{\ddot q+\omega^2q=0},$$其中$$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{W}{G}}}.$$

通常对于振动方程, 物理上更习惯取复指数形式的特解, 即通解一般形式为$$\boxed{q\left(t\right)=Ae^{-i\omega t}+A^{*}e^{+i\omega t}\equiv Ae^{-i\omega t}+\mathrm{c.c.}},$$其中 $A$ 是复常数, "c.c." 代表复共轭. * 在此处表示共轭.

更一般地, 二阶线性常微分方程的所有解的集合构成 2 维线性空间, 对于振动方程, 物理上经常取两个线性无关的特解为$$\left\{u\left(t\right),u^{*}\left(t\right)\right\},$$这里的 $u\left(t\right)$ 是复函数, 被称为模式函数 (modefunction). 顾名思义, 其代表两个线性独立的振动模式. 于是方程的通解为两者的线性组合, $$\boxed{q\left(t\right)=Au\left(t\right)+A^{*}u^{*}\left(t\right)\equiv Au\left(t\right)+\mathrm{c.c.}},$$

2.1 简正模式

单自由度谐振动的讨论向一般多自由度系统的推广是直接的.$$L_2=\frac{1}{2}G_{ab}\dot{q}^a\dot{q}^b-\frac{1}{2}W_{ab}q^aq^b,$$
运动方程为$$G_{ab}\ddot{q}^b+W_{ab}q^b=0,\quad a=1,2\cdots,s.$$
将扰动记作列矩阵$$q\equiv\left(\begin{array}{c}q^1\\\vdots\\q^s\end{array}\right),$$
注意: 本章中由于讨论的都是扰动, 为了简洁去掉 ${\delta}$ 符号, 直接使用 $q$ 代表扰动.

则拉格朗日量用矩阵形式写成

$$\boxed{L_2=\frac{1}{2}\dot{q}^\mathrm{T}G\dot{q}-\frac{1}{2}q^\mathrm{T}Wq},$$

其中$G$ 和$W$ 是常对称矩阵，且我们假设都是非退化且正定的。运动方程（10.11）用矩阵形式即

$$\boxed{G\ddot{q}+Wq=0}.$$

在求解物理问题时, 经常会经过合理猜测而假定解具有某种特殊的形式, 也就是试解 (ansatz²) 或拟设. 我们猜测其也具有谐振子形式的解$$\boldsymbol{q}\left(t\right)=\boldsymbol{A}e^{-i\omega t}+\boldsymbol{A}^{*}e^{+i\omega t}=\boldsymbol{A}e^{-i\omega t}+\mathrm{c.c.},$$这里$$A\equiv\left(\begin{array}{c}A^1\\\vdots\\A^s\end{array}\right),$$是常矢量（列矩阵），矩阵元可以是复数.

如上形式的试解是假设所有的扰动自由度都在以同一频率 $\omega$ 做谐振动, 这当然是一种很特殊的运动模式. 而我们将看到, 系统的通解正是多个频率形式的解的线性叠加.

现在的任务首先要验证试解是否合理, 在此基础上, 再求出其中的频率 $\omega$ 和矢量 $A$ . 为此, 将上式代入运动方程$$\ddot{q}=-\omega^{2}Ae^{-i\omega t}+\mathrm{c.c.}\equiv-\omega^{2}\boldsymbol{q},$$
得到$$G\ddot{\boldsymbol{q}}+W\boldsymbol{q}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{W}-\omega^2\boldsymbol{G}\end{pmatrix}\boldsymbol{A}e^{-i\omega t}+\mathrm{c.c.}=0,$$
即必须有$$\boxed{\begin{pmatrix}W-\omega^2G\end{pmatrix}A=0}.$$
我们要寻找 $A\neq0$ 的非平凡解, 因此上式成立的充分必要条件是, 矩阵$(W-\omega^{2}G)$ 行列式为零$$\boxed{\det\left(\boldsymbol{W}-\omega^{2}\boldsymbol{G}\right)=\det\left(\begin{array}{cccc}W_{11}-\omega^{2}G_{11}&W_{12}-\omega^{2}G_{12}&\cdots&W_{1s}-\omega^{2}G_{1s}\\W_{21}-\omega^{2}G_{21}&W_{22}-\omega^{2}G_{22}&\cdots&W_{2s}-\omega^{2}G_{2s}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\W_{s1}-\omega^{2}G_{s1}&W_{s2}-\omega^{2}G_{s2}&\cdots&W_{ss}-\omega^{2}G_{ss}\\\end{array}\right)=0}$$
上式被称自由度 $s$ 小振动系统的特征方程 ( characteristic equation ).

矩阵 $(W-\omega^{2}G)$ 是 $s\times s$ 阶的方阵, 因此特征方程是 $\omega^2$ 的 $s$ 次代数方程, 因为背景是稳定平衡的, 即要求 $G$ 和 $W$ 都是正定矩阵, 因此 $\omega^2$ 的解都是正实数, 即上式总存在 $\omega^2$ 的 $s$ 个正实根 $\omega_{1}^{2},\omega_{2}^{2},\cdots,\omega_{s}^{2}$ , 对应 $s$ 个振动频率$$\omega_{\alpha},\quad\alpha=1,\cdots,s,$$
被称为小振动系统的特征频率 ( characteristic frequencies ). 因为 $G$ 是非退化的, 将两边同乘以 $G^{-1}$ ，得到$$\begin{pmatrix}G^{-1}\boldsymbol{W}-\omega^2\boldsymbol{1}\end{pmatrix}\boldsymbol{A}=0,\quad\Rightarrow\quad\begin{pmatrix}\boldsymbol{G}^{-1}\boldsymbol{W}\end{pmatrix}\boldsymbol{A}=\omega^2\boldsymbol{A},$$
即 $A$ 是矩阵 $G^{-1}W$ 本征值为 $\omega^2$ 的本征矢. 所以特征频率的平方 $\omega_{\alpha}^{2}$ 即是矩阵 $G^{-1}W$ 的本征值, 对应的本征矢正是特征矢量 $A_{\alpha}$.

现在假定我们已经求解了特征方程, 即找到了 $s$ 个振动频率, 其中每一个给定频率 $\omega_{\alpha}$ 都具有上述的试解，即$$q_{\alpha}\left(t\right)=A_{\alpha}e^{-i\omega_{\alpha}t}+\mathrm{c.c.},\quad\alpha=1,\cdots,s,$$都是系统运动方程可能的解, 但是其中的系数即矢量 $A_{\alpha}$ 并不是任意的, 具体而言$$\boxed{\begin{pmatrix}\boldsymbol{W}-\omega_\alpha^2\boldsymbol{G}\end{pmatrix}\boldsymbol{A}_\alpha=0,\quad\alpha=1,2,\cdots,s.}$$

满足上式的 $A_{\alpha}$ 被称作某一特征频率 $\omega_{\alpha}$ 对应的特征矢量 (characteristic vector), 这时, 形如上式的解 $q_{\alpha}$ 的物理意义是, 所有的扰动自由度以同一频率 $\omega_{\alpha}$ 做谐振动, 且系数 $A_{\alpha}$ 必须满足上式, 这意味着各扰动自由度的振幅满足固定的比例关系. 这组同一频率的解被称作系统的简正模式 (normal mode).

2.2 简正坐标

是否存在一组特别的广义坐标, 使得每个振动自由度正好只对应一个特征频率?

选取一组新的广义坐标$\zeta$ $$q=M\zeta,$$
其中$M$ 是常矩阵, 使得用新的广义坐标 $\{\zeta_\alpha\}$ 表达的拉格朗日量中, 新的动能项系数矩阵和势能项系数矩阵同时对角化. 在这样的线性坐标变换下, 二次拉格朗日量变换为$$\begin{aligned}L_{2}&=\quad\frac{1}{2}\dot{q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{G}\dot{\boldsymbol{q}}-\frac{1}{2}\boldsymbol{q}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}\boldsymbol{q}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{\zeta}}\right)^{\mathrm{T}}\boldsymbol{G}\left(\boldsymbol{M}\dot{\boldsymbol{\zeta}}\right)-\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{M}\boldsymbol{\zeta}\right)^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}\left(\boldsymbol{M}\boldsymbol{\zeta}\right)\\&=\quad\frac{1}{2}\dot{\zeta}^{\mathrm{T}}\underbrace{M^{\mathrm{T}}\boldsymbol{G}\boldsymbol{M}}_{=\ddot{\boldsymbol{G}}}\dot{\zeta}-\frac{1}{2}\zeta^{\mathrm{T}}\underbrace{M^{\mathrm{T}}\boldsymbol{W}\boldsymbol{M}}_{=\dot{\boldsymbol{W}}}\zeta,&\end{aligned}$$即$$L_{2}=\frac{1}{2}\dot{\zeta}^{\mathrm{T}}\tilde{G}\dot{\zeta}-\frac{1}{2}\zeta^{\mathrm{T}}\tilde{W}\zeta,$$其中$$\boxed{\tilde{G}=M^\mathrm{T}GM,\quad\tilde{W}=M^\mathrm{T}WM}.$$$\zeta$ 的运动方程为$$\ddot{\zeta}+\tilde{G}^{-1}\tilde{W}\zeta=0.$$
为了使得新的广义坐标 $\zeta$ 之间互相独立, 则 $\tilde{G}$ 和 $\tilde{W}$ 必须都成为对角矩阵. 由线性代数知, 对于两个正定的实对称矩阵, 一定存在线性变换使其同时对角化. 而 $G$ 和 $W$ 正是正定的实对称矩阵, 因此总是存在$M$, 使得变换后$$\tilde{\boldsymbol{G}}^{-1}\tilde{\boldsymbol{W}}=
\begin{pmatrix}
w_1/g_1 & & & \
& w_2/g_2 & & \
& & \ddots & \
& & & w_s/g_s
\end{pmatrix},$$
由线性代数的知识, $M=A$ 是一个符合上述变换的矩阵.

其他振动形式

其他振动形式与普物中振动方程的求解方式差别不大, 需要注意的是, 它们对应的拉格朗日量会有所变化