变分法与 Euler-Lagrange Equation

1 泛函

泛函, 即函数到数的映射. 对于某个具体的函数 $f\in F$, 函数 $f$ 的泛函记作 $S[f]$, 即$$f\to S=S[f], F\to C$$

泛函的具体形式有多种, 一般而言, 泛函可写作:$$S[f]=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathrm{d}t L(t, f(t), f'(t), f''(t), . . . ). \tag{1. 1}$$
事实上, 函数 $f(t)$ 在某点的值也是函数自身的泛函. ^3d6995

2 变分

变分
函数本身的无穷小变换, 以及由之引起的泛函的变化即变分. 若函数 $f(t)$ 变为另一个函数 $\tilde{f}$ , 且两者相差无穷小, 则函数 $f_{t}$ 的变分定义为$$\delta f (t):=\tilde{f}(t)-f(t). $$

变分与微分在形式上的运算规则基本相同.

有一个非常重要的性质:

变分与微分可以交换顺序
$$\delta (\mathrm{d}f)=\mathrm{d}(\delta f)$$

下图是对于为什么可以换序的直观证明.
![[Pasted image 20250708150948.png]]
$A\to B\to B'$ 的路径是先微分再变分; $A\to A'\to B'$ 的路径是先变分再微分.

该结论的推论是:$$\delta \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\delta f(t)\right). $$

3 泛函导数

泛函导数从形式上完全是对普通函数导数的类比.
一般的, 我们有导数可定义为$$\mathrm{d}f(t)=\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t. $$
类比, 我们有

泛函导数
$$\delta S[f]:=\int \mathrm{d}t \frac{\delta S}{\delta f(t)}\delta f(t). $$其中, $\frac{\delta S}{\delta f(t)}$即一阶泛函导数.

可将泛函与多元函数进行类比
$$\begin{align*}
\mathrm{d}F&= \sum\limits_{n}& \frac{\partial F}{\partial x_{n}}\;& \mathrm{d}x_{n}\
\delta S[f]:&= \int \mathrm{d}t& \frac{\delta S}{\delta f(t)}\;& \delta f(t).
\end{align*}$$

3.1 计算一个泛函导数

在函数中, 对一个函数做泰勒展开, 有$$\begin{align*}
f(\tilde{t})&= f(t+{\varepsilon}\mathrm{d}t)\
&= f(t)+{\varepsilon}\mathrm{d}f(t)+\frac{\varepsilon^{2}}{2}\mathrm{d}^{2}f(t)+ \frac{{\varepsilon}^{3}}{3!} \mathrm{d}^{3} f(t) +\cdots.
\end{align*}$$其中, ${\varepsilon}$ 为无穷小参数.

对应地, 我们对泛函做泰勒展开:$$S\left[f+\epsilon\delta f\right]=S\left[f\right]+\epsilon\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}S\left[f+\epsilon\delta f\right]\right|_{\epsilon=0}+\frac{\epsilon^2}{2!}\left.\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\epsilon^2}S\left[f+\epsilon\delta f\right]\right|_{\epsilon=0}+\cdots.$$
对于[[变分法与 Euler-Lagrange Equation#^3d6995|(1. 1)]]形式的泛函, 我们有$$S[f+{\varepsilon}{\delta}f]=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t L(t, f+{\varepsilon}{\delta}f, f'+{\varepsilon}{\delta}f', . . . )$$
而$${\delta}S[f]=S[f+{\delta}f]-S[f].$$
于是有$$\begin{align*}
\delta S[f]&= \int \mathrm{d}t \frac{\delta S}{\delta f(t)}\delta f(t). \
&= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t \left( \frac{{\partial L}}{{\partial f}}{\delta}f+ \frac{{\partial}L}{{\partial}f'}{\delta}f'+\cdots \right).
\end{align*}$$
上式被积函数正是 $L$ 的一阶变分, 这意味着, 变分符号可以拿进积分号内.

我们将利用多次利用分部积分法处理这个式子.

分部积分法是变分法中的重要方法.
其基本思路是, 利用变分与求导可以交换顺序的性质, 将作用于 ${\delta}f$ 的导数移除, 代价是产生额外的"全导数"项.

^b1f08f

例如, $$\frac{{\partial}L}{{\partial}f'}{\delta}f'=\frac{{\partial}L}{{\partial}f'}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} {\delta}f = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{{\partial}L}{{\partial}f'}{\delta}f \right)- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{{\partial}L}{{\partial}f'} \right){\delta}f. $$
因此, $$\begin{gathered}
{\delta}\text{S} =\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\left[\frac{\partial L}{\partial f}\delta f-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial f^{\prime}}\right)\delta f+\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial f^{\prime\prime}}\right)\delta f+\cdots+\frac{\mathrm{d}\mathcal{B}}{\mathrm{d}t}\right] \
=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}t\left[\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial f^{\prime}}\right)+\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}t^{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial f^{\prime\prime}}\right)+\cdots\right]\delta f+\left. \mathcal{B}\right|_{t_{1}}^{t_{2}},
\end{gathered}$$
这里$\frac{\mathrm{d}\mathcal{B}}{\mathrm{d}t}$ 代表全导数项, 积分后得到的$\left. \mathcal{B}\right|_{t_1}^{t_2}$ 被称作边界项(boundary term).
由上面的推导知, 若泛函的被积函数 $L$ 包含 $f\left(t\right)$ 的最高 $n$ 阶导数, 则边界项 $\mathcal{B}$ 包含 $\delta f\left(t\right)$ 的最高 $n-1$ 阶导数.
变分法中的一个基本假设是, 如果泛函的被积函数包含函数的最高 $n$ 阶导数, 则在积分边界处, 函数及其直至 $n-1$ 阶导数的变分为零, 即$$\begin{align*}
\left. \delta f\right|_{t_{1}}&= \left. \delta f\right|_{t_2}=0\
\delta f'|_{t_{1}}&= \left. \delta f'\right|_{t_2}=0\
\vdots &\
\delta f^{(n-1)}\big|_{t_{1}}&= \left. \delta f^{(n-1)}\right|_{t_2}=0
\end{align*}$$
在这样的假设下, 边界项恒为零 $\mathcal{B}|_{t_1}=\mathcal{B}|_{t_2}=0$ . 这也意味着, 被积分函数可以加上函数 $f\left(t\right)$ 及其直至 $n-1$ 阶导数的任意函数 $F=F\left(t, f, f^{\prime}, \cdots, f^{(n-1)}\right)$ 的全导数, 而不影响泛函导数.

两个被积函数“相差全导数”, 或者两个积分“相差边界项", 这件事在变分法中非常重要, 因此通常用一个专门的符号“ $\simeq$ ”来表示, 即$$\boxed{L_1\simeq L_2\quad\Leftrightarrow\quad L_1=L_2+\frac{\mathrm{d}F\left(t, f, f', \cdots\right)}{\mathrm{d}t}}, $$以及$$\boxed{S_1\simeq S_2\quad\Leftrightarrow\quad S_1=S_2+\left.F\right|_{t_1}^{t_2}}.$$

基于上面的假设, 对于泛函导数的计算来说, 边界项无关紧要, 在实际计算中, 都是默认直接丢掉边界项, 而不用写出其具体形式.

综上, 我们得到了计算一个一阶泛函导数的标准手续:

1. 将变分符号 ${\delta}$ 移到积分号内.
2. 按照复合函数求导法则, 计算 ${\delta}L$.
3. 分部积分.
4. 提取 ${\delta}f$ 前的系数, 即一阶泛函导数.

example
考虑泛函$S\left[f\right]=\int$d$t\left[\left(f^{\prime}\left(t\right)\right)^2-\left(f\left(t\right)\right)^2\right]$ 有$$\begin{aligned}
\delta S\left[f\right]& =\int\mathrm{d}t\delta\left(f^{\prime2}-f^{2}\right)=\int\mathrm{d}t\left(2f^{\prime}\delta f^{\prime}-2f\delta f\right) \
&\simeq\int\mathrm{d}t\left(-2f^{\prime\prime}\delta f-2f\delta f\right)=\int\mathrm{d}t\left(-2f^{\prime\prime}-2f\right)\delta f\left(t\right),
\end{aligned}$$因此一阶泛函导数为$$\frac{\delta S}{\delta f\left(t\right)}=-2f^{\prime\prime}\left(t\right)-2f\left(t\right).$$

4 泛函极值

4.1 泛函极值的必要条件

普通函数的极值即要求其一阶导数为零. 结合泛函导数的定义, 即有$$\delta S\left[\bar{f}\right]=\int\mathrm{d}t\left.\frac{\delta S\left[f\right]}{\delta f}\right|_{\bar{f}}\delta f\left(t\right)=\left.\frac{\mathrm{d}S\left[\bar{f}+\epsilon\delta f\right]}{\mathrm{d}\epsilon}\right|_{\epsilon=0}=0.$$
由此得到泛函在 $f=\bar{f}\left(t\right)$ 时取极值, 即要求泛函的一阶变分为零:$$\boxed{\delta S\left[\bar{f}\right]=0},$$等价地, 这意味着泛函在 $\bar{f}\left(t\right)$ 处的一阶泛函导数为零:$$\boxed{\left.\frac{\delta S\left[f\right]}{\delta f}\right|_{\bar{f}}=0}.$$
这是泛函取得极小值的必要条件.

4.2 拉格朗日方程

一类常见的泛函具有如下形式:$$S\left[f\right]=\int\mathrm{d}tL\left(t,f\left(t\right),f'\left(t\right)\right).$$泛函取极值的必要条件是:$$-\frac{\delta S}{\delta f}\equiv\boxed{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial f'}\right)-\frac{\partial L}{\partial f}=0}.$$

变分问题的欧拉-拉格朗日方程
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial f'}\right)-\frac{\partial L}{\partial f}=0$$称作变分问题的欧拉-拉格朗日方程.

对 $L$ 直接求全导数:$$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{{\partial}L}{{\partial} t}+\frac{{\partial}L}{\partial f}f'+\frac{{\partial}L}{\partial f'}f''=\frac{{\partial}L}{\partial t}+\frac{{\partial} L}{\partial f}f'+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{{\partial}L}{\partial f'}f'\right)-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{{\partial}L}{\partial f'}\right)f'.$$
因此欧拉-拉格朗日方程成立时, 下式也成立:$$\boxed{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial f'}f'-L\right)+\frac{\partial L}{\partial t}=0}.$$ ^79e16d

4.3 多变量

开始推广多变量泛函:$$S=S\left[f_1,f_2,\cdots\right]=\int\mathrm{d}xL\left(t,f_1,f_2,\cdots,f_1',f_2',\cdots\right).$$其极值同样要求$$\delta S\simeq\int\mathrm{d}x\left(\frac{\delta S}{\delta f_1}\delta f_1+\frac{\delta S}{\delta f_2}\delta f_2+\cdots\right)=0.$$也即$$\frac{\delta S}{\delta f_1}=0,\quad\frac{\delta S}{\delta f_2}=0,\quad\cdots.$$

5 等时变分与不等式变分

在上述推导中, 我们默认了 ${\delta}t=0$. 这是由 Hamilton 原理 (又称等时变分原理) 所规定的, 即自变量 $t$ 的微小变化不会影响 ${\delta}f$.

而 Jacobi-Maupertuis 原理 (又称不等时变分原理) 将 $t$ 看做是一个与 $f,f'\cdots$ 同样地位的参量, 这是一定可以找到另一个变分参量, 它与等时变分中 $t$ 的性质相同.
不等时变分满足 ${\delta}t\neq0$.