经典力学的物理基础

1 位形空间

1.1 位形与时间演化

位形 (configuration)
位形即粒子系统中各个粒子的空间位置, 或者更一般的物理系统在空间中的形状, 分布.

位形空间 (configuration space)
系统所有可能位形的集合, 就构成位形空间.

位形空间往往不是线性空间, 而是一种流形. 对位形空间的认识需要利用拓扑的知识. 例如双摆的位形是一个二维环面 $\mathbf{S}^1\times\mathbf{S}^1\equiv$ $\mathbf{T}^2$

世界线
将位形空间与时间轴合在一起形成更大的一个空间, 随着时间的演化, 位形空间中的点在这个空间中也扫出一条连续的曲线, 被称作世界线.

1.2 广义坐标

广义坐标 (generalized coordinates)
对位形空间的参数化极为广义坐标.

因此,我们有很重要得到一个结论$$位形空间的维数=独立广义坐标的个数.$$

1.2.1 广义坐标的变换

现在假设有两组广义坐标 $\{q\}$ 和 $\{\tilde{q}\}$, 描述同一个位形空间.对应 $\{q\}$ 坐标的数值记作 $\left.q\right|_P$, $\{\tilde{q}\}$ 坐标的数值记作 $\left.\tilde{q}\right|_P.$ 两组坐标满足:$$\boxed{q^a\to\tilde{q}^a=\tilde{q}^a\left(t,q\right)},\quad a=1,\cdots,s.$$这种广义坐标之间的变换也被称作点变换 (point transformation) , 因为其将 $\{q\}$ 坐标描述的点, 变换到用 $\{\tilde{q}\}$ 描述的点. 我们要求上式是可逆的, 即存在$$\tilde{q}^a\to q^a=q^a\left(t,\tilde{q}\right),\quad a=1,\cdots,s.$$
也就是说 $\{q\}$ 和 $\{\tilde{q}\}$ 是一一对应的 (微分同胚 diffeomorphism). 可逆性要求坐标变换的雅可比行列式非 0, 即$$\det\left(\frac{\partial\tilde{q}^a}{\partial q^b}\right)\neq0.$$且注意到$\frac{\partial\bar{q}^b}{\partial q^c}$ 的逆即$\frac{\partial q^a}{\partial\bar{q}^b}$ 满足$$\sum_{b=1}^s\frac{\partial q^a}{\partial\tilde{q}^b}\frac{\partial\tilde{q}^b}{\partial q^c}=\frac{\partial q^a}{\partial q^c}\equiv\delta_c^a,$$这里 $\delta_c^a$ 为克罗内克符号, 取值当 $a=c$ 时为 1, $a\neq c$ 时为 0.

1.3 相空间

1.3.1 速度相空间

理论上, 对于函数的某一点而言, 我们要知道其在这一点的无穷阶导数才能决定其函数形式 (Taylor), 然而对于自然界中绝大部分物理系统, 我们只需要测量"位置"和"速度"就可以了, 也就是函数在该点的值与函数的一阶导.

对于一般的物理系统, 从广义坐标 $\{q\}$ 出发, 广义速度 (generalizedvelocity) 定义为广义坐标的时间导数$$\boxed{v^a:=\frac{\mathrm{d}q^a\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\equiv\dot{q}^a},\quad a=1,\cdots,s.$$

相空间 (phase space)
物理系统所有可能状态的集合即相空间.

具体到"坐标"和"速度"构成的状态空间, 被称为速度相空间 (velocityphase space). 速度相空间中的一点 $\{q,\dot{q}\}$. 代表系统的一种可能的状态. 因此, 有$$相空间的维数= 唯一确定系统演化的独立参数的个数.$$

相空间中的点随时间扫出的曲线是永不相交的. 如果相交, 就说明存在某个时刻状态完全相同, 那么这两条线本身就是重合的状态.

1.3.2 广义坐标的变换所诱导的广义速度的变换

广义速度的变换为$$\dot{\tilde{q}}^a\equiv\frac{\mathrm{d}\tilde{q}^a}{\mathrm{d}t}=\sum_{b=1}^s\frac{\partial\tilde{q}^a}{\partial q^b}\dot{q}^b,$$逆变换为$$\dot{q}^a\equiv\frac{\mathrm{d}q^a}{\mathrm{d}t}=\sum_{b=1}^s\frac{\partial q^a}{\partial\tilde{q}^b}\dot{\tilde{q}}^b,$$
即广义速度之间的偏导数关系等于广义坐标之间的偏导数关系. 这与逆变矢量的性质存在关系.

1.4 约束

约束 (constraint)
对系统所能达到的状态所强加的运动学限制条件即约束.

约束的一般表达式为$$\phi\left(t,q^1,\cdots,q^m,\dot{q}^1,\cdots,\dot{q}^m\right)=0.$$

1.4.1 约束的分类

定常约束 (scleronomous constraint, 稳定约束) 和非定常约束 (rheonomous constraint, 不稳定约束)
根据约束方程是否显含时间进行分类, 不显含时间则为定常约束, 反之则为非定常约束.

双侧约束 (bilateral constraint) 和单侧约束 (unilateral constraint)
约束方程是等式则为双侧约束, 不等式则为单侧约束.

完整约束 (holonomicconstraint) 和非完整约束 (nonholonomic constraint)
如果一个约束有如下形式$$\phi_\alpha\left(t,q^1,\cdots,q^m\right)=0,\quad\alpha=1,\cdots,k,$$则其为完整约束.

如果一个约束有如下形式$$\phi\left(t,q^1,\cdots,q^m,\dot{q}^1,\cdots,\dot{q}^m\right)=0,$$则为非完整约束.

自由度是系统在位型空间中确定位置所需的最小独立坐标数. 一个完整约束方程可以消除一个独立坐标, 从而减少自由度. 非完整约束是微分约束 (通常是非可积的), 它们作用于速度空间 (tangent space), 而非构型空间本身. 约束仅在运动过程中限制速度或加速度, 但系统仍能访问构型空间中的所有点(尽管运动路径受限). 在求解运动方程时, 非完整约束需要作为额外条件 (如使用拉格朗日乘子法) 引入, 但不改变自由度的初始计数.

1.5 自由度

由完整约束方程 $\phi\left(t,\boldsymbol{q}\right)=0$ 变分得到$$\delta\phi=\sum_{a=1}^m\frac{\partial\phi}{\partial q^a}\delta q^a=0.$$
这说明在完整约束下, 广义坐标的变分也不是独立的. 由此引入自由度.

自由度
自由度即独立广义坐标变分的数目.

对于一个完整系统而言, 其自由度等于广义坐标个数. 但对非完整系统而言, 其自由度小于广义坐标个数.
一个完整约束同时减少一个独立坐标与一个独立速度分量. 一个非完整约束 只减少一个独立速度分量.

2 相对论时空观

2.1 时空 (spacetime)

时空点
时间的一瞬和空间的一点的联合就给定了一个"时空点", 记作 $p$, 对于任何一个时空点, 可以用四个实数 ($c$ 为光速)$$\{ct,x,y,z\}\equiv\left\{\begin{matrix}x^0,\boldsymbol{x^1},x^2,x^3\end{matrix}\right\}\equiv\{x^\mu\}\:,\quad\mu=0,1,2,3$$来对其参数化. 全体是时空点的集合即时空.

数学上对时空严格的表述是所谓 4 维流形.

时空是第一性的, 是绝对的, 时间和空间只是一种导出概念, 是依赖于具体的观测者的, 对时空人为的分解, 是相对的. 这也是相对论时空观中"相对性"的含义.

2.1.1 粒子与场

粒子 (particle)
粒子 (particle) 是在运动中忽略其自身内部结构的对象, 即在空间中不延展的对象.

场 (field)
在空间中是延展的, 连续的, 自由度是不可数的一类对象称作场.

其中:

• 对于空间延展维度为 1 维的对象称为弦 (string).
• 对于空间延展维度为 2 维的对象称为膜 (brane).

研究场的一般理论被称作场论 (field theory). 设场在空间中延展的维度为 $d$ 维，可将其称为 $d+1$ 维场论.
因此, 研究粒子的经典力学也被视为 $0+1$ 维经典场论, 弦论被视为 $1+1$ 维场论, 电磁场理论被视为 $3+1$ 维场论.

粒子的位形空间就是空间本身, 粒子在时空中运动, 划出的轨迹即该粒子的世界线.

2.2 度规

欧几里得空间 (Euclidean space) 中, 我们可以利用勾股定理计算距离 (比如世界线的长度).

但在更一般的流形中, 有限距离的勾股定理显然不成立, 但无穷小距离仍能利用勾股定理进行计算.
例如球面的无穷小距离$$\left.\left(\mathrm{d}s\right)^{2}=R^{2}\left(\mathrm{d}\theta\right)^{2}+R^{2}\sin^{2}\theta\left(\mathrm{d}\phi\right)^{2}=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{d}\theta&\mathrm{d}\phi\end{array}\right.\right)\left(\begin{array}{cc}R^{2}&0\\0&R^{2}\sin^{2}\theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathrm{d}\theta\\\mathrm{d}\phi\end{array}\right)\\ $$
对于一般的空间, 在某点附近可以用平坦的线性空间 (即切空间) 来近似, 而线性空间中勾股定理总是成立的, 记空间坐标为 $\{q^a\}$ , 则无穷小距离的平方总可以表示成坐标微分 $\{\mathrm{d}q^a\}$ 的二次型, 这个"无穷小距离的平方"有一个专门的名字, 被称作线元 (line element), 通常记作 $\mathrm{d}s^2$ , 写成矩阵形式有$$\mathrm{d}s^2=\left(\begin{array}{ccc}\mathrm{d}q^1&\cdots&\mathrm{d}q^s\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}g_{11}&\cdots&g_{1s}\\\vdots&\ddots&\vdots\\g_{s1}&\cdots&g_{ss}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{d}q^1\\\vdots\\\mathrm{d}q^s\end{array}\right),$$
这里由二次型的系数构成的对称矩阵 $g_{ab}$ 被称作度规 (metric).

物理学中习惯采用所谓爱因斯坦求和约定 (Einstein summation convention): 一对重复的上下指标默认求和, 从而略去对重复指标的求和号.

2.2.1 度规的一般定义

线元通常写成
$$\boxed{\mathrm{d}s^2=g_{ab}\mathrm{d}q^a\mathrm{d}q^b},$$
其中, $g_{ab}$ 即是度规.

给定度规 $g_{ab}$ (一个非退化的对称矩阵), 可以求其矩阵的逆, 被称作逆度规 (inverse metric), 其也是一个对称矩阵.

习惯将度规和逆度规都用同一个符号 $g$ 来表示, 而用指标的"上下"来代表度规和逆度规亦即定义上指标的 $g^{ab}$ 为$$\boxed{g^{ab}:=\left(g^{-1}\right)_{ab}}.$$
并且逆度规满足$$\boxed{g^{ac}g_{cb}\equiv\delta^a{}_b},\quad\text{等价地}\quad\boxed{g_{ac}g^{cb}\equiv\delta_a{}^b}.$$其中 $\delta_i^i$ 是克罗内克符号 (Kronecker symbol), 取值为$$\delta_j^i=\begin{cases}1,&i=j,\\0,&i\neq j.\end{cases}$$
度规的严密定义涉及到张量, 此处我们不做过多介绍.

2.2.2 时空的度规

爱因斯坦狭义相对论的时空背景是所谓闵可夫斯基时空 (Minkowski spacetime),.
取直角坐标$$\{x^\mu\}=\left\{x^0,x^1,x^2,x^3\right\}=\{ct,x,y,z\}\:,$$闵氏时空的线元为$$\mathrm{d}s^2=-c^2\left(\mathrm{d}t\right)^2+\left(\mathrm{d}x\right)^2+\left(\mathrm{d}y\right)^2+\left(\mathrm{d}z\right)^2\equiv\eta_{\mu\nu}\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu,$$因此闵氏时空的度规及逆度规分别为$$\eta_{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right),\quad\eta^{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right),$$
对于一个一般的时空背景，度规可以写成$$\mathrm{d}s^2=g_{\mu\nu}\left(\boldsymbol{x}\right)\mathrm{d}x^\mu\mathrm{d}x^\nu,$$这里 $g_{\mu\nu}\left(\boldsymbol{x}\right)$ 本身也是时空坐标的函数 (例如球对称引力场的施瓦西 (Schwarzschild) 度规式). 需要强调的是, 度规 $g_{\mu\nu}\left(\boldsymbol{x}\right)$ 是坐标 $\{x^\mu\}$ 的函数, 不代表空间一定是"弯曲"的 (有曲率). 例如, 3 维欧氏空间度规在球坐标下的分量式是球坐标 $\{r,\theta,\phi\}$ 的函数, 但是其仍然是一个平坦的 3 维欧氏空间.

2.2.3 逆变与协变

我们将度规的指标写在下方, 逆度规的指标写在上方. 这种区分也就是所谓逆变 (contravariant) 与协变 (covariant).

在矢量或张量上方的指标被称为上标 (upperindex) 或逆变指标 (contravariantindex), 在下方的指标被称为下标 (lowerindex) 或协变指标 (covariantindex). 相应地, 带上标的矢量 (例如广义速度) 被称作逆变矢量 (contravariant vector) ,而带下标的矢量 (例如梯度) 则被称作协变矢量 (covariant vector).

有了逆变和协变的概念之后, 我们将爱因斯坦求和约定进一步明确为: 一对重复的上下指标, 默认求和. 这样的操作被称为指标缩并 (contraction). 被缩并的一对指标由于已经被默认求和掉了, 因此它们实际上已经不再具有指标的含义了. 这种被缩并掉的指标也被称为哑指标 (dummy index). 例如, 在3维将求和具体写出即$$g_{ab}A^b\equiv\sum_{b=1}^3g_{ab}A^b=g_{a1}A^1+g_{a2}A^2+g_{a3}A^3,\quad a=1,2,3,$$其中的 $b$ 指标其实已经被求和，即是哑指标．

逆变矢量$A^a$ 与度规收缩后得到的 $g_{ab}A^b$ 作为一个"整体", 只有一个下指标 $a$, 或者说相当于一个协变矢量, 习惯上, 将这个协变矢量用同一个字母表示, 记作$$A_a:=g_{ab}A^b.$$
类似地,$$T^{ab}:=g^{ac}g^{bd}T_{cd},\quad T^{a}_{b}:=g^{ac}T_{cb},\quad T_{a}^{b}:=T_{ac}g^{cb},$$

两个矢量的内积可等价地写成$$A\cdot B:=g_{ab}A^aB^b=g^{ab}A_aB_b=A_aB^a=A^aB_a,$$其中必然涉及度规. 度规的重要性再次体现出来.

2.3 参考系

2.4 相对性原理

2.4.1 伽利略相对性原理

牛顿力学的时空观即所谓的绝对时空 (absolute space and time) 观. 其认为时间与空间是完全独立和分离的. 时间是一维的、均匀的、无限的，与空间和物质运动都没有关系. 时间是绝对的, 不同的惯性参考系共享同一个绝对的时钟.时间的同时性也是绝对的, 即在一个惯性参考系中同时发生的两件事, 在另一个惯性参考系看来也是同时发生的, 空间是三维的、均匀且各向同性的、无限的，与时间和物质运动没有关系. 特别是长度也是绝对的，与参考系无关. 牛顿力学中的惯性参考系即相对于绝对空间做匀速直线运动的参考系.

伽利略变换 (Galilean transformation)
$$t\to\tilde{t}=t,\quad\boldsymbol{x}\to\tilde{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{v}t.$$
其中$v$ 是一个常矢量, 代表两个惯性系之间的相对速度.

可以将伽利略变换写成4维形式$$x^{\mu}\to\tilde{x}^{\mu}=\Gamma^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu},$$这里变换矩阵为$$\Gamma^\mu{}_\nu=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\v^1&1&0&0\\v^2&0&1&0\\v^3&0&0&1\end{array}\right).$$可见伽利略变换有3个参数$v^1,v^2,v^3.$ 在伽利略变换下，时空的线元 d$s^2=$ $-c^2$d$t^2+\delta_ij$d$x^i$d$x^j$ 变换为$$\begin{aligned}\mathrm{d}\tilde{s}^{2}&=-c^{2}\mathrm{d}\tilde{t}^{2}+\delta_{ij}\mathrm{d}\tilde{x}^{i}\mathrm{d}\tilde{x}^{j}=-c^{2}\mathrm{d}t^{2}+\delta_{ij}\left(\mathrm{d}x^{i}+v^{i}\mathrm{d}t\right)\left(\mathrm{d}x^{j}+v^{j}\mathrm{d}t\right)\\&=-c^{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\mathrm{d}t^{2}+2\delta_{ij}v^{i}\mathrm{d}t\mathrm{d}x^{j}+\delta_{ij}\mathrm{d}x^{i}\mathrm{d}x^{j}.\end{aligned}$$可见在伽利略变换下，时空线元是变化的， d$\tilde{s} ^2\neq$d$s^2$ ．当然，空间长度是不变的
$$\mathrm{d}\tilde{s}^2|_{\mathrm{d}\tilde{t}=0}=\:\mathrm{d}s^2|_{\mathrm{d}t=0}=\delta_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j.$$

2.4.2 爱因斯坦相对性原理

正确的时空观是爱因斯坦的相对论时空观，具体而言，时间和空间是相互联系的一个整体，即时空，时空是一个基本概念，本身是绝对的，而时间和空间则是导出概念，且依赖于具体观测者， 不同观测者看到不同的时间和空间，是相对的，于是时间和长度也就没有绝对的概念和数值，同时性也只有相对的意义。

体现爱因斯坦相对论时空观的是洛伦兹变换。