Method of Lagrange Multipliers

拉格朗日算子
有时, 我们无法取出完全独立的广义坐标, 此时可以利用拉格朗日算子, 将约束写入新的作用量中, 并从而得到带有约束的运动方程.

1 拉格朗日乘子法

1.1 完整约束

拉格朗日乘子法可以直接应用到完整约束系统. 对于作用量 $S=\int$d$tL\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)$ 作用量取极值要求$$\delta S\simeq-\int\mathrm dt\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q^a}-\frac{\partial L}{\partial q^a}\right)\delta q^a\equiv\int\mathrm dt\frac{\delta S}{\delta q^a}\delta q^a=0.$$
简单起见, 考虑存在 1 个完整约束的情形, 约束方程为$$\phi\left(t,\boldsymbol{q}\right)=0.$$对于多个完整约束的推广是直接的.

完整约束诱导出广义坐标变分之间的关系$$\delta\phi=\frac{\partial\phi}{\partial q^a}\delta q^a=0,$$即广义坐标的变分并不是完全独立的, 而只能限制在约束面上. 与多元函数情形类似，泛函导数$\frac{\delta S}{\delta q^{\alpha}}$ 相当于泛函$S$ 在位形空间中的“梯度”. 因此类似地, 只有当约束面的梯度 $\frac{\partial\phi}{\partial q^a}$ 与泛函的"梯度" $\frac{\delta S}{\delta q^{\alpha}}$ 平行时, 泛函在约束面上取极值, 即$$\begin{aligned}\frac{\delta S}{\delta q^a}=-\lambda\frac{\partial\phi}{\partial q^a},\quad a=1,\cdots,s.\end{aligned}$$这里拉格朗日乘子 $\lambda\left(t\right)$ 一般也是时间参数 $t$ 的函数, 但是和 $\{q^{\alpha}\}$ 和 $\{\dot{q}^a\}$ 无关.$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\dot{q}^{a}}-\frac{\partial\tilde{L}}{\partial q^{a}}&=&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^{a}}-\frac{\partial L}{\partial q^{a}}-\lambda\frac{\partial\phi}{\partial q^{a}}=0,\quad a=1,\cdots,s,\\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\dot{\lambda}}-\frac{\partial\tilde{L}}{\partial\lambda}&=&-\phi=0.\end{array}$$与多元函数情形一样, 将拉格朗日乘子 $\lambda$ 视为一个独立变量, 其运动方程就是约束方程.

1.2 非完整约束

由以上讨论, 拉格朗日乘子法的关键在于约束可以视为位形空间中的曲面, 从而给出广义坐标变分的线性关系. 这对于非完整系统一般是不成立的, 因此拉格朗日乘子法一般不能推广到非完整系统.

一个例外是当非完整约束具有如下形式$$\phi\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)=A_a\left(t,\boldsymbol{q}\right)\dot{q}^a+B\left(t,\boldsymbol{q}\right)=0,$$即只包含广义速度的"线性项"时, 拉格朗日乘子方法也是适用的.

还有一种非完整约束是以积分形式给出的，例如$$\int\mathrm{d}t\phi\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)=C=\text{常数},$$这类约束被称为等周约束（isoperimetricconstraint）. 如固定长度的闭合曲线所围面积, 固定面积的封闭曲面所围体积, 固定长度链条在重力场中的形状等问题即涉及等周约束. 等周约束也可以用拉格朗日乘子方法处理. 这是因为等周约束的积分是一个常数, 而作用量加上常数不影响极值, 所以$$S\text{取极值}\quad\Leftrightarrow\quad\left(S+\lambda\int\mathrm{d}t\phi\right)\text{取极值},$$这里拉格朗日乘子$\lambda$ 必须是个常数. 因此对于等周约束, 拉格朗日乘子法即对扩展的作用量$$\boxed{\tilde{S}\left[\boldsymbol{q}\right]=\int\mathrm{d}t\left(L+\lambda\phi\right)=\int\mathrm{d}t\left(L\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)+\lambda\phi\left(t,\boldsymbol{q},\dot{\boldsymbol{q}}\right)\right)},$$将$\{q^{\alpha}\}$ 全部视为独立, 求变分极值. 对于等周约束, 拉格朗日乘子 $\lambda$ 是个常数 (其值待定), 不参与变分.

2 辅助变量

我们将广义坐标分成两类. 一类是广义速度明显出现在拉格朗日量中, 被称作动力学变量 (dynamical variable). 另一类是广义速度 (及更高阶的时间导数) 不出现在拉格朗日量中, 换句话说, 只有广义坐标本身出现在拉格朗日量中, 被称作非动力学变量 (non-dynamical variable) 或者辅助变量 (auxiliary variable). 在这个意义上, 拉格朗日乘子是辅助变量的一个特例, 即拉格朗日量是拉格朗日乘子 $\lambda$ 的线性函数.

一般地, 同时包含动力学变量和辅助变量的拉格朗日量具有形式$$L=L\left(t,q,\dot{q};\chi\right),$$
其中广义坐标分为两类,$$\begin{aligned}\text{动力学变量:}&&\{q^a\}\:,\quad a=1,\cdots,s,\\\text{辅助变量:}&&\{\chi^\alpha\}\:,\quad\alpha=1,\cdots,m.\end{aligned}$$

3 其他技巧

3.1 广义速度线性化

考虑作用量$$S\left[q\right]=\int\mathrm{d}tL\left(t,q,\dot{q}\right),$$其中拉格朗日量是广义速度 $\dot{q}$ 的非线性函数, 即有 $\frac{\partial^2L}{\partial\dot{q}^2}\neq0$ . 通过引入拉格朗日乘子 $\lambda$ 与辅助变量 $\chi$, 可以写出如下的作用量$$S\left[q,\lambda,\xi\right]=\int\mathrm{d}t\left[L\left(t,q,\chi\right)+\lambda\left(\chi-\dot{q}\right)\right].$$
根据上面的讨论, 作用量所对应的 $\lambda$ 的运动方程即$$\chi-\dot{q}=0,$$其是辅助变量 $\chi$ 的代数方程, 可以从中解出$\chi=\dot{q}$ .
代入原式后对辅助变量 $\chi$ 变分得到运动方程 $\frac{\partial L(t,q,\chi)}{\partial\chi}+\lambda=0$ , 其是拉格朗日乘子 $\lambda$ 的代数方程, 可以从中解出 $\lambda=-\frac{\partial L(t,q,\chi)}{\partial\chi}$ , 代回得到$$S\left[q,\chi\right]=\int\mathrm{d}t\left[L\left(t,q,\chi\right)-\frac{\partial L\left(t,q,\chi\right)}{\partial\chi}\left(\chi-\dot{q}\right)\right].$$

这在讨论哈密顿力学时, 可以更方便地得到哈密顿量的显式表达。

3.2 高阶导数降阶

若拉格朗日量中含有高阶的时间导数，例如对于单个变量$q$ ,$$S\left[q\right]=\int\mathrm{d}tL\left(t,q,\dot{q},\ddot{q}\right),$$通过引人拉格朗日乘子$\lambda$ 与新的变量$\xi$ ，可以写出等价作用量$$S\left[q,\xi,\lambda\right]=\int\mathrm{d}t\left(L\left(t,q,\dot{q},\dot{\xi}\right)+\lambda\left(\xi-\dot{q}\right)\right).$$拉格朗日乘子$\lambda$ 的运动方程即 $\xi-\dot{q}=0$ , 其是 $\xi$ 的代数方程.