Differential Variational Principle

1 D'Alembert's Principle

运动被约束限制, 这种限制自然也归结为所谓约束力 (constraint force), 即迫使力学系遵守约束条件的力. 相应地, 和约束无关的力 (即约束消失仍然存在) 被称作主动力 (applied force).

达朗贝尔原理将广义坐标的变分称作虚位移 (virtualdis placement), 即系统在任意的瞬时, 满足约束条件的无穷小位移. 力 (包括主动力和约束力) 在虚位移下所做的功即虚功 (virtual work). 考虑 $N$ 个粒子构成的粒子系统. 第 $\alpha$ 个粒子受到的主动力记为 $F_{(\alpha)}$ , 约束力记为 $N_{(\alpha)}$ . 则第 $\alpha$ 个粒子主动力的虚功即 $F_{(\alpha)}\cdot\delta x_{(\alpha)}$ , 约束力的虚功即 $\mathbf{N}_{(\alpha)}\cdot\delta\boldsymbol{x}_{(\alpha)}$ . 某个粒子的虚位移平行于约束面, 约束力则垂直于约束面, 即虚位移与约束力总是垂直的 $N\cdot\delta x=0$ . 受此启发, 如果系统所有粒子所受约束力所做的虚功之和为零, 即$$\sum_{\alpha=1}^NN_{(\alpha)}\cdot\delta\boldsymbol{x}_{(\alpha)}=0,$$则该系统的约束称为理想约束 (ideal constraint). 注意, 理想约束是系统所受全部约束的一个整体性质, 而不是某一个或某几个约束的性质. 以下我们只讨论理想约束.

达朗贝尔原理的出发点是牛顿运动方程. 考虑 $N$ 个粒子组成的粒子系统, 每一个粒子都满足牛顿第二定律:$$F_{(\alpha)}+N_{(\alpha)}=m_{(\alpha)}\dot{x}_{(\alpha)},\quad\alpha=1,\cdots,N,$$即$$F_{(\alpha)}+N_{(\alpha)}-m_{(\alpha)}\ddot{x}_{(\alpha)}=0,\quad\alpha=1,\cdots,N$$在牛顿力学中， $-m_{(\alpha)}\ddot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}$ 可视为第$\alpha$ 个质点所受的惯性力 (inertial force). 设第$\alpha$ 个粒子的虚位移为 $\delta x_{(\alpha)}$ , 将上式与 $\delta x_{(\alpha)}$ 作点乘, 并对所有粒子求和, 得到$$\sum_{\alpha=1}^N\left(\boldsymbol{F}_{(\alpha)}+\boldsymbol{N}_{(\alpha)}-m_{(\alpha)}\ddot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\right)\cdot\delta\boldsymbol{x}_{(\alpha)}=0.$$
而由理想约束条件, 系统约束力总的虚功为零, 因此$$\boxed{\sum_{\alpha=1}^N\left(\boldsymbol{F}_{(\alpha)}-m_{(\alpha)}\ddot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\right)\cdot\delta\boldsymbol{x}_{(\alpha)}=0.}$$
意味着理想约束系统所受主动力和惯性力产生的总虚功为零, 这就是达朗贝尔原理.

达朗贝尔原理
见上

1.1 利用达朗贝尔原理推导拉格朗日方程

对于 $N$ 个粒子组成的系统, 假设存在$k$ 个完整约束, 于是可以选取 $s=3N-k$ 个独立的广义坐标 $\{q^a\}$, $a=1,\cdots,s$. 第 $\alpha$ 个粒子的直角坐标 $x_{(\alpha)}$ 用广义坐标 $\{q^{\alpha}\}$ 表示为 $\boldsymbol{x}_{(\alpha)}=\boldsymbol{x}_{(\alpha)}\left(t,\boldsymbol{q}\right)$, $\alpha=1,\cdots,N$ . 直角坐标的虚位移为$$\delta\boldsymbol{x}_{(\alpha)}=\sum_{a=1}^s\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial q^a}\delta q^a,\quad\alpha=1,\cdots,N.$$代入达朗贝尔原理表达式后有$$\begin{aligned}\text{0}&=\quad\sum_{\alpha=1}^{N}\left(\boldsymbol{F}_{(\alpha)}-m_{(\alpha)}\ddot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\right)\cdot\left(\sum_{a=1}^{s}\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial q^{a}}\delta q^{a}\right)\\&=\quad\sum_{a=1}^{s}\left[\sum_{\alpha}^{N}\left(\boldsymbol{F}_{(\alpha)}-m_{(\alpha)}\ddot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\right)\cdot\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial q^{a}}\right]\delta q^{a}.\end{aligned}$$
$s$ 个广义坐标是互相独立的, 因此上式成立要求每一个 $\delta q^{\alpha}$ 前的系数都为零, 即得到 $s$ 个独立的方程,$$\sum_{\alpha=1}^{N}\left(\boldsymbol{F}_{(\alpha)}-m_{(\alpha)}\ddot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\right)\cdot\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial q^{a}},\quad a=1,\cdots,s.$$即$$\sum_{\alpha=1}^{N}m_{(\alpha)}\ddot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial q^{a}}=\sum_{\alpha=1}^{N}\boldsymbol{F}_{(\alpha)}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial q^{a}},\quad a=1,\cdots,s.$$接下来我们希望将上式中的每一项也用广义坐标和广义速度表示. 首先, 直角坐标速度用广义坐标和广义速度表达为$$\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\equiv\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial q^a}\dot{q}^a+\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial t},\quad\alpha=1,\cdots,N.$$因此

$$\frac{\partial\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}}{\partial\dot{q}^{a}}=\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial q^{a}}.$$于是我们有$$\begin{aligned}\text{左边}&=\quad\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigg(\sum_{\alpha=1}^{N}m_{(\alpha)}\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial q^{a}}\Bigg)-\sum_{\alpha=1}^{N}m_{(\alpha)}\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial q^{a}}\\&=\quad\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\sum_{\alpha=1}^{N}m_{(\alpha)}\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\cdot\frac{\partial\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}}{\partial q^{a}}\right)-\sum_{\alpha=1}^{N}m_{(\alpha)}\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\cdot\frac{\partial\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}}{\partial q^{a}}\\&=\quad\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial}{\partial\dot{q}^{\alpha}}\underbrace{\left(\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^{N}m_{(\alpha)}\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}^{2}\right)}_{=T}-\frac{\partial}{\partial q^{\alpha}}\underbrace{\left(\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^{N}m_{(\alpha)}\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}^{2}\right)}_{=T},\end{aligned}$$即$$\text{左边}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}^{a}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q^{a}}.$$系统总的动能$T$ 用广义坐标表达由（4.65）给出。对于（7.8）的右边，定义广义力$$\text{右边}=\sum_{\alpha=1}^N\boldsymbol{F}_{(\alpha)}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial q^\alpha}=:Q_a,\quad a=1,\cdots,s.$$
有$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q^a}\right)-\frac{\partial T}{\partial q^a}=Q_a,\quad a=1,\cdots,s,$$即拉格朗日方程。

1.1.1 保守体系

当体系所受主动力全部都是保守力（conservativeforce）时，$$\boldsymbol{F}_{(\alpha)}=-\frac{\partial V}{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}},\quad\alpha=1,\cdots,N,$$这里$V=V\left(\boldsymbol{x}_{(1)},\cdots,\boldsymbol{x}_{(N)}\right)\equiv V\left(\boldsymbol{q}\right)$ 是势能，只依赖于系统的位形。（7.13）中的广义力可以写成$$Q_{a}=\sum_{\alpha=1}^{N}\boldsymbol{F}_{(\alpha)}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial q^{\alpha}}=-\sum_{\alpha=1}^{N}\frac{\partial V}{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{x}_{(\alpha)}}{\partial q^{a}}\equiv-\frac{\partial V}{\partial q^{a}},\quad a=1,\cdots,s.$$
得到$$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}^{a}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q^{a}}=-\frac{\partial V}{\partial q^{a}},\quad a=1,\cdots,s,\end{aligned}$$即$$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}^a}\right)-\frac{\partial\left(T-V\right)}{\partial q^a}=0,\quad a=1,\cdots,s.\end{aligned}$$因为势能与广义速度无关， $\frac{\partial T}{\partial\dot{q}^{\alpha}}\equiv\frac{\partial(T-V)}{\partial\dot{q}^{\alpha}}$ . 因此若定义 $L\equiv T-V$ , 可以进一步写成
$$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^a}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^a}=0,\quad a=1,\cdots,s,\end{aligned}$$

1.1.2 非保守体系

将保守力部分写作$- \frac{{\partial}V}{{\partial}q^{a}}$, 非保守力仍用广义表示, 得$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q^a}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^a}=Q_a,\quad a=1,\cdots,s.$$

2 其他原理

Jourdain’s principle
$$\sum_{\alpha=1}^N\left(\boldsymbol{F}_{(\alpha)}-m_{(\alpha)}\ddot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\right)\cdot\delta\dot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}=0.$$

Gauss’s principle of least constraint
$$\delta Z=-\sum_{\alpha=1}^N\left(\boldsymbol{F}_{(\alpha)}-m_{(\alpha)}\ddot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}\right)\cdot\delta\ddot{\boldsymbol{x}}_{(\alpha)}=0.$$

实际上, 三种原理分别以虚位移, 虚速度, 虚加速度为基础.